Ingemar Sjöström: Vårda ditt modellberoende!

En modell är en förenkling av verkligheten men med bibehållande av väsentliga delar. Modellen hjälper dig att fatta bättre och välgrundade beslut. Ta till exempel en busstidtabell. Visst kan du leva utan en sådan, du kan gå direkt till busshållplatsen och vänta. Förr (eller senare!) kommer det en buss men med hjälp av modellen – busstidtabellen – blir allt lättare. En annan modell är ett organisationsschema som underlättar då du skall navigera genom företaget eller organisationen.

Som kvalitetsarbetare – och som vanlig nyhetskonsument – konsumerar du proportioner, antingen som fel- eller rätt-kvoter eller som andelar uttryckta på diverse olika sätt. Redan här har du en modell eller åtminstone en ankarpunkt för ditt fortsatta tänkande. Du kanske i huvudet jämför denna kvot med samma kvot lite tidigare, kanske du gör en jämförelse med samma kvot för andra produkter, etcetera.

Säkert har du någon gång skojat om procentsatser som plötsligt hoppat upp till 50% som alldeles nyss varit 0%. Ett av dina gnagande symptom är ibland tanken på hur många detaljer som kollats (alltså nämnaren i beräkningen) men enklast är att ignorera detta, jag menar, vad kan du göra åt det, ”kvoten duger bra för mig”, kanske du tänker. Men låt mig mer i detalj introducera den statistiska modell som du alltså använder mer eller mindre dagligen.

Ett antal viktiga punkter och ett pubbesök

Det är nu det är dags att lära mer om modellen och då bör du bjuda på ett pubbesök med en kompis som övertygande kan leda dig rätt. Det kan bli ungefär så här:

1. Du har en process där en utsaga om en detalj kan bli ett av två möjliga utfall – till exempel ’OK/ej OK’, eller ’i tid/’ej tid’ eller liknande. (Dina data kan alltså var 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, osv). Andelen för det ena utfallet är ’p’ och därför är andelen av det andra utfallet ’1 – p’, alltså ’fel-kvot’ och ’rätt-kvot’. Om du noterar utfallet för ett antal dylika produkter förväntar du att medelvärdet blir just ’p’. (Därmed inte sagt att du kommer att få just detta i ditt stickprov.)

2. När ni kommit till andra glaset öl har du på servetten sett hur formeln för sigma växt fram ur den ursprungliga definitionen. Och märkligt nog blir härledningen enkel, det räcker med vanlig skolmatte. Sigma blir här sqrt[p*(1 – p)].  Alltså roten ur produkten av ’fel-kvot’ och ’rätt-kvot’. 

3. Innan du druckit upp kommer kompisen be dig att kommentera ’sigma’-formeln. Du kan säga ungefär så här:  ”när p = 0 blir sigma 0 och när p = 1 blir sigma också 0. Detta är förnuftigt eftersom om alla detaljer är ’OK’ eller om alla detaljer är ’ej OK’ finns ju finns ingen variation. Dessutom blir sigma blir som störst då p = 0.5”. (Vi har alla hört om omröstningar där opinonsiffrorna legat runt 50% vilket då medfört att osäkerheten i resultatet varit stor. Visst, man kan minska problemet med större stickprov men vem skall betala?)

4. Men du vill hellre ha informationen om processens felkvoten genom stickprov som består av ’n’ detaljer. Nu blir sigma sqrt[p*(1 – p)/n], och om du vill ha resultatet i procent måste du multiplicera med 100.

Ett exempel

Om p = 0.2 och n = 100 blir sigma sqrt[0.2*(1 – 0.2)/100] = 0.04 eller 4 %. Med den vanliga tumregeln kan du påstå att praktiskt taget all slumpmässig variation ligger inom intervallet 0.2 – 3*0.04 och 0.2 + 3*0.04 dvs [0.08, 0.32], 8 – 32 %.  Nu inser du att ett resultat på, säg, 10% eller 27 % inte betyder att processen har försämrats eller förbättrats! (Detta resonemang kan skärpas om du lär mer om modellens så kallad sannolikhetsfördelning.) 

Ett problem – noll fel

Förhoppningsvis har du processer med låga felkvoter. Antag att du i en undersökning inte hittar något enda fel i ditt stickprov.  Vad kan du säga om pressens felkvot? Du ser att skattning av medelvärdet blir 0 (dvs 0/n = 0) och även sigma-formeln ger 0! Betyder det att processens blivit perfekt? Nej här behöver du tänka ett varv till. (Här finns inte utrymme för en fördjupning men se vår simulering/animering http://ovn.ing-stat.se/nollfelp/simnollfelp2.php).

Den grafiska fördelningen

Om du har lite mer tid och tålamod kan du be din kompis visa den grafiska sannolikhetsfördelningen. Med hjälp av små krumelurer, enkla resonemang och enkel matematik (multiplikation och addition) når ni sedan fram till en formel som du kanske sett tidigare men inte fått riktigt grepp om. 

Och det bästa av allt, när ni använder formeln och ritar upp ert beräknade resultat så ser du normalfördelningen växa fram! Tänk dig, det tog mänskligheten århundrade att nå fram till denna centrala funktion men med hjälp av en kompis fixade du det på mindre än en timma!

Om du har ritat den modell som gäller eller borde gälla för din process, har du underlag för en hel del teorier, slutsatser och aha-upplevelser. 

Simulera och animera

På sidan http://ovn.ing-stat.se/ har jag lagt ett stort antal simuleringar och titta speciellt på [7 (välj ’Binomial’)], [9], [14], [27], [32], [34], 37], [43] som exemplifierar det som jag nämnt ovan.

Avslutningsvis

– Använd modeller i ditt kvalitetsarbete.

– Koncentrera på modellens primära egenskaper och användning.

– Skaffa möjlighet att simulera och rita resultat som till exempel histogram över data.

– (Nästa gång skall jag visa dig ytterligare en användbar modell. Den förekommer dagligen i nyhetsflödet…).

Vad väntar du på?  Bjud mig på pubben (asap)!